概率论
知识点随记
六大基础分布
- 两点分布
| X | 0 | 1 | |
|---|---|---|---|
| P | 1-p | p |
-
均匀分布
- X\sim U[a,b]
- f(x)=\frac{1}{b-a}, x\in[a,b]
- EX=\frac{a+b}{2}, DX=\frac{(b-a)^2}{12}
-
伯努利分布
- X\sim B(n,p)
- EX=np, DX=np(1-p)
-
正态分布
- X\sim N(\mu, \sigma^2)
- f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
- EX=\mu, DX=\sigma^2
-
指数分布
- 无记忆性
- X\sim E(\lambda)
- f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0
- EX=\frac{1}{\lambda}, DX=\frac{1}{\lambda^2}
-
泊松分布
- X\sim P(\lambda)
- P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k\in \mathbb{N}
- EX=\lambda=np, DX=\lambda
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再生性
概率密度
-
公式法求概率密度
- Y=g(X), 在 (a,b) 上严格单调可微
- x=h(y), 为 g(x) 的反函数
- A=\min\{g(a),g(b)\}, B=\max\{g(a),g(b)\}
-
f_Y(y) = \begin{cases} f_X(h(y))|h'(y)|, & A < y < B \\ 0, & \text{其他} \end{cases}
-
联合概率密度
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f(x,y)
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条件概率密度
-
f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}
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协方差
- Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
- D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)
- 性质
- Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)
- Cov(X_1+X_2,Y) = Cov(X_1,Y) + Cov(X_2,Y)
-
正态分布样本的 \overline{X} 与 S^2 独立
三大分布
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性质
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\chi^2 分布
- EX=n, DX=2n
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\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
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t 分布
-
EX=0, DX=\frac{n}{n-2} （当 n > 2）
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\frac{(\overline{X} - \mu)\sqrt{n}}{S} \sim t(n-1)
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\frac{\overline{X} - \overline{Y} - (\mu_1 - \mu_2)}{S_w \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)
- 其中
-
S_w = \sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}
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F 分布
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\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)
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大数定理
- 中心极限定理
- 切比雪夫不等式
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P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}
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或者
P(|X - E(X)| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2}
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估计
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矩估计
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极大似然估计
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表达式 Y 是 \alpha 的无偏估计
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E(Y) = \alpha
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\LaTeX
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置信区间
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已知 \sigma，求 \mu
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\overline{X} \pm u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
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未知 \sigma，求 \mu
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\overline{X} \pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}}
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求 \sigma^2
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\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \right)
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概率论考试结束，学习告一段落
2024/12/15
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