高数

线性齐次方程求解
隐函数求偏导
连续和偏导存在
方向导数
全微分
多元函数极值
二重积分

{x^2或y^2}考虑极坐标替换
二重积分的积分顺序变换

后积先定限，限内画条线，先交下限写，后交上限见
n阶常系数齐次方程的解
空间曲线的切线，或平面

先求法向量
高阶偏导
隐函数存在定理
二重积分不等式
- \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\cdot \int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x=\iint\limits_{D}f(x)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,D=[a,b]\times [a,b].\\
二重积分对称性
- 关于y=x对称，y和x可以轮换。
是某二阶常系数线性微分方程的解
- 先寻找每组公共项，再考虑余项
二重积分换元极坐标记得dxdy=>d\sigma=>rd{\theta}d{r}(记得多乘r)
三重积分的计算
- 最后z
线积分的对称性
- 曲线积分
  - 第一类曲线积分
    - 普通对称
      - 第一类曲线积分是与方向无关的,当积分域D对称的前提下的.被积曲线需要关于X轴和Y轴对称,这是使用对称性的前提.具体的用法是
      如果积分区域关于X轴对称,函数关于Y是奇函数,则积分为零,
      如果被积函数是偶函数,则积分为对称区域上（一半）的两倍。
    - 轮换对称
      - 曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分满足关系式∫f(x,y)ds=∫f(y,x)ds
        
        设L是xoy面上的一条光滑或分段光滑的曲线弧,L对坐标x,y具有轮换对称性,f(x,y)在L上连续,则：
        
        第二类曲线积分
        普通对称
        如果被积函数在一个给定的积分域内，是关于某个轴的奇函数，则在这个轴上积分时，积分结果为零。（注意轴和对称的对应关系）
        若P关于x为奇函数，则∫P(x,y)dx=0；
        若Q关于y为奇函数，则∫Q(x,y)dy=0。
        
        如果调换我们之前提到的对称关系，即如果Q(x,y)是对dy积分，但Q(x,y)是对x轴有对称性，则可证明当Q(x,y)是关于x为偶函数时，有∫Q(x,y)dy =0。
        同理，若P(x,y)是对dx积分，但是对y轴呈对称性，则可证明，当P(x,y)是关于y的偶函数时，有∫P(x,y)dx=0。
        
        轮换对称
        设L是xoy面上的一条光滑或分段光滑的有向曲线弧,L对坐标x,y具有轮换对称性,f(x,y)在L上连续,则
        或者∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy.(注意由于曲线积分的方向性，前面多了一个负号）
旋度
傅里叶级数
- b_n奇延拓，a_n偶延拓
三重积分的对称性
- 图解三重积分的对称性_三重积分对称性-CSDN博客
转动惯量
- I=\iiint\limits_{\Omega}d^{2}.\rho(x,y,z)dv,
d^2=\frac{|n\times (x,y,z)|^2}{|n|^2}$$
球坐标
- {\displaystyle {r}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
- {\displaystyle {\theta }=\arccos \left({\frac {z}{r}}\right)=\arcsin \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{r}}\right)=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)}
- {\displaystyle {\varphi }=\arccos \left({\frac {x}{r\sin \theta }}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{r\sin \theta }}\right)=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}
- {\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi }
- {\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi }
- {\displaystyle z=r\cos \theta }
- {\displaystyle \mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }

梯度，散度，旋度，拉普拉斯算子

梯度

{\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }

散度

{\displaystyle \oint _{S}{\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }=\iiint \limits _{\Delta V}\mathrm {div} \mathbf {A} \mathrm {d} V\;\;\;\;(1)}
{\displaystyle \iiint \limits _{\Delta V}\mathrm {div} \mathbf {A} \mathrm {d} V=\mathrm {(} \mathrm {div} \mathbf {A} \mathrm {)} _{x}\cdot |\Delta V|\;\;\;\;(2)}
{\displaystyle (\mathrm {div} \mathbf {A} )_{P}=\lim _{\Delta V\rightarrow P}{\frac {1}{|\Delta V|}}\oint _{S}{\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }=\lim _{\Delta V\rightarrow P}{\frac {\Delta \Phi }{|\Delta V|}}={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} V}}}
由此可见，散度是通量Φ ${\textstyle \Phi }$ 对曲面所围区域体积的变化率，也可看成通量在V中的分布密度。所以{\textstyle \mathrm {div} \mathbf {A} }也称为通量密度。
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}}

旋度

{\displaystyle \mathbf {curl\,} \ \mathbf {A} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }
{\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}}

拉普拉斯算子

梯度的散度
{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}